前言

给定系统的状态转移方程：

就可以计算对应的状态转移矩阵：

一旦有了系统的状态转移矩阵，那么我们就可以计算系统的零输入响应：

那么我们要如何计算系统的状态转移矩阵呢？
时域的微分系统分析很复杂，我们可以通过拉式变换将其转换为代数系统，在代数系统求解后我们再拉式逆变换回时域。
我们先将它转移到复频域（不考虑输入）：

然后进行一系列的代数变换，我们就可以得到零输入响应在复频域的闭合解：

之后我们进行拉式逆变换就可以得到零输入响应在时域的闭合解：
这个求法有两个计算点，一个是矩阵的逆的求解，另一个是拉式变换以及反变换，这篇博客讨论一下矩阵的逆为什么可以通过伴随矩阵进行求解。

数学证明

从矩阵的逆的定义入手，满足下列等式的矩阵B是A的逆矩阵：

这其实等价于对于B的每一列$b_j$都满足：
$Ab_j=e_j$（$e_j$是第j个标准基向量）

利用克拉默法则（Cramer’s Rule） 我们可以将等式进一步拆解：
$b_{ij}=\frac{det(A_i)}{det(A)}$
所以只要B矩阵中的每个元素满足上面的等式，那么B就是A矩阵的逆。
但是这上面的表达式离伴随矩阵还有些距离，我们仔细观察$A_i$，会发现带入的列向量是标准基向量。
标准基向量是很好的，它只有第j行是1。
利用这个性质，我们将$A_i$ 的第i列展开，计算每个下标对应的代数余子式并相加。
因为第i列只有第j行是1，所以有如下等式：
$det(A_i)=C_{ji}$
$C_{ji}$ 代表第j行第i列的代数余子式。
之后我们一步步的回代，就可以得到如下等式：
$b_{ij}=\frac{C_{ji}}{det(A)}$
也就是：

我们回忆一下伴随矩阵的定义：

证毕。

克莱姆法则

上面的推理除了克莱姆法则，其他的部分都没有使用二级结论。
所以我又去查了一下克莱姆法则是怎么证明的。
网络上很多人都是使用逆矩阵和伴随矩阵的定义证明克莱姆法则，这不就循环论证了吗。
我询问了gpt后得到了一种克莱姆法则的直接证明方法，现在也记录在下面。
克莱姆法则的定义如下：
对于： $Ax=b$ （x、b是列向量）
有： $x_i=\frac{det(A_i)}{det(A)}$ （$x_i$ 代表x的第i个元素，$A_i$ 代表用b 代替A中的第i列得来的矩阵）
($A=[a_1,a_2,…,a_n]$ , $A_i=[a_1,a_2,…,a_{i-1},b,a_{i+1},…,a_n]$)
证明过程不难理解。
我们首先将等式 $Ax=b$ 的左边拆分成列向量的和的形式，
那么就有：$Ax=[a_1,a_2,…,a_n]x=x_1a_1+x_2a_2+…+x_na_n=b$
我们把这个列向量和的形式表达的b带入到$A_i$ 中，得到下式：
$det(A_i)=det([a_1,a_2,…,a_{i-1},b,a_{i+1},…,a_n])=det([a_1,a_2,…,a_{i-1},\sum_{j=1}^{n}x_ja_j,a_{i+1},…,a_n])$

因为行列式对列和行都有线性性（由行列式的定义决定），我们可以将求和号移到求行列式的外面，得到下面的等式：
$det(A_i)=\sum_{j=1}^{n}x_jdet([a_1,a_2,…,a_{i-1},a_j,a_{i+1},…,a_n])$
当j！=i的时候，列向量间不是线性无关的（因为有完全相同的两列），所以行列式为0，
忽略这些为零的求和项，上面等式可以再化简：
$det(A_i)=x_idet([a_1,a_2,…,a_{i-1},a_i,a_{i+1},…,a_n])=x_idet(A)$
证毕。